Matematika yra reikšminga pasaulio mokslo, technologijų ir visuomenės bei kultūros pažinimo dalis.
Matematikos dalykui mokykloje tenka išskirtinis vaidmuo, ugdant mokinių skaičiavimo, abstrakčiojo, loginio mąstymo, vaizdinio, erdvinio mąstymo, duomenų tyrybos ir interpretavimo formalizavimo, abstrahavimo gebėjimus.
Mokydamiesi matematikos, mokiniai kaupia žinias apie matematines sąvokas ir jų ryšius, mokosi sklandžiai ir tiksliai atlikti procedūras, ugdosi supratimą apie tai, kaip yra nustatomi bendrumai ir skirtumai, kuriamos matematinių sąvokų struktūros.
Mokiniai įtraukiami į įvairaus konteksto probleminių situacijų tyrinėjimą.
Mokoma(si) įvairias situacijas modeliuoti, suformuluoti kaip matematines problemas, jas spręsti ir interpretuoti gautus rezultatus.
Tvirtos žinios ir nuolat stiprinami pagrindimo, argumentavimo ir matematinio komunikavimo gebėjimai suteikia galimybę mokiniams kritiškai vertinti, kūrybiškai veikti, efektyviai komunikuoti įvairiuose mokiniui aktualiuose, prasminguose ir suprantamuose kontekstuose.
Matematikos bendrosios programos paskirtis.
Mokant matematikos, siekiama ne tik matematikos kaip dalyko tikslų, bet ir bendrųjų ugdymo tikslų, ypač metakognityviojo mąstymo, bendravimo ir bendradarbiavimo gebėjimų ugdymo srityse.
Programoje išskirtos trys pasiekimų sritys.
Išskiriant pasiekimų sritis ir pasiekimus, vadovautasi kompetencijų ir jų sandų raiškos aprašais, siekta dermės su kitų dalykų bendrosiose programose išskirtomis pasiekimų sritimis ir pasiekimais.
Siekiant vaizdžiai parodyti pagrindinio lygio pasiekimų augimą kas dvejus metus, Programoje pateikiama pasiekimų raidos lentelė.
Mokymo(si) turinyje išskirtos turinio sritys ir temos.
Tema „Algoritmai ir programavimas“ 1-4 klasėse per matematikos pamokas nagrinėjama tik tuomet, kai mokiniams, besimokantiems pagal pradinio ugdymo programą, nėra atskiros informatikos pamokos.
Pasiekimų lygių požymiai aprašyti 1-2 klasėms, 3-4 klasėms, 5-6 klasėms, 7-8 klasėms, 9 (I gimnazijos)-10 (II gimnazijos) klasėms ir III-IV gimnazijos klasėms (atskirai bendrajam ir išplėstiniam kursui).
Pradinio ugdymo uždaviniai.
Pagrindinio ugdymo uždaviniai.
Vidurinio ugdymo uždaviniai.
Pradinio ugdymo uždaviniai.
Pagrindinio ugdymo uždaviniai.
Vidurinio ugdymo uždaviniai.
Įgyvendinant Programą ugdomos šios kompetencijos: pažinimo, kūrybiškumo, komunikavimo, skaitmeninė, pilietiškumo, socialinė, emocinė ir sveikos gyvensenos, kultūrinė.
Jos pateiktos pagal kompetencijos ugdymo intensyvumą.
Nors šioje Programoje plačiausiai aprašomas mokinių pažinimo kompetencijos ugdymas, tačiau matematikos mokymasis gali reikšmingai prisidėti ir prie kitų kompetencijų ugdymo.
Siekiama, kad mokiniai įgytų gilų, konceptualų supratimą apie matematikos prigimtį ir jos vaidmenį šiuolaikiniame pasaulyje, taip pat pajustų jos universalumą.
Gilus supratimas pasiekiamas, kai mokiniams sudaromos galimybės ne tik gerai suprasti matematikos mokymo(si) turinyje numatytas faktines žinias ir išmokti sklandžiai atlikti matematines procedūras.
Ypač daug dėmesio turi būti skiriama mokinių konceptualioms ir metakognityvinėms žinioms, taip pat matematinio samprotavimo (indukcinio ir loginio-dedukcinio mąstymo) gebėjimams lavinti.
Perprasti ir įvaldyti matematikai būdingą simbolinę kalbą mokiniams padeda situacijos, kuriose atsiveria daug galimybių matematines sąvokas ir idėjas suprasti, taikyti, kurti, naudojantis įvairiomis priemonėmis (fizinėmis ir skaitmeninėmis) bei išreiškiant įvairiomis formomis (tekstu, vaizdu, simboliais; žodžiu, raštu).
Matematinė kalba ugdoma, mokiniams stebint, apibūdinant matematinius modelius ir objektus, tyrinėjant gamtos, socialinius reiškinius, meno, literatūros kūrinius ir kt.
Mokiniai, atlikdami įvairias matematines užduotis, spręsdami matematines problemas, dalyvaudami projektinėse veiklose, turėtų tikslingai, kūrybiškai, saugiai ir etiškai naudotis skaitmeninėmis priemonėmis bei įrankiais, skirtais braižyti, modeliuoti ar projektuoti, duomenims apdoroti ir pateikti, ieškoti informacijos, rengti pranešimus, bendrauti ir bendradarbiauti.
Atviros, kompleksiškesnės, abstraktesnio pobūdžio užduotys skatina mokinių nestandartinį, divergentinį mąstymą (kūrybinio mąstymo komponentas), o jis, savo ruožtu, yra problemų sprendimo pagrindas.
Atliekant tokias užduotis, tenka ilgiau mąstyti, įvertinti daugiau aplinkybių ir sąlygų, generuoti ir apmąstyti daugiau idėjų.
Mokiniai turėtų įgyti patirties mąstyti „iš savęs“, kurti savas strategijas ir būdus užduotims atlikti.
Mokiniai turėtų dalyvauti projektinėse veiklose, kuriomis siekiama padėti bendruomenei, visuomenei rasti priimtiną, aktualų sprendimą.
Pavyzdžiui, jie gali dalyvauti priimant finansinius sprendimus, svarstyti apie žiniasklaidoje pateikiamos matematinės informacijos patikimumą ir pan.
Gilus nagrinėjamų matematinių sąvokų ir procedūrų supratimas, tobulėjantys indukcinio ir loginio - dedukcinio mąstymo gebėjimai mokiniams suteikia galimybę ir skatina vis aktyviau įsitraukti į jiems aktualių ir prasmingų realaus gyvenimo problemų sprendimą.
Kritiškai vertindami įvairią skaitinę, grafinę informaciją, rinkdami ir analizuodami duomenis apie juos supančią aplinką, dalyvaudami diskusijose apie matematikos vaidmenį, sprendžiant įvairias gyvenimiškas problemas, mokiniai puoselėja ir tokias asmenines bei tarpasmenines savybes kaip efektyvus savo veiklos planavimas, organizavimas ir valdymas, gebėjimas prisiimti atsakomybę, dirbant individualiai ir su kitais.
Pasiekimų sritys žymimos raide (pavyzdžiui, A, B), raide ir skaičiumi (pavyzdžiui, A1, A2) žymimas tos pasiekimų srities pasiekimas.
Lentelėse kiekvienam klasių koncentrui pasiekimai aprašomi keturiais pasiekimų lygiais: slenkstinis, patenkinamas, pagrindinis ir aukštesnysis.
Gilus suvokimas apima ne tik pagrindinių matematikos sąvokų ir žymenų supratimą, procedūrinius įgūdžius, bet ir įvairių sprendimo metodų taikymo patirtį, leidžiančią mokiniui žengti tolesnius mąstymo žingsnius gebėjimų piramidėje.
Tik mokėdami paaiškinti ir pagrįsti atliekamas procedūras, mokiniai įgauna tvirtą pamatą matematinio samprotavimo gebėjimams ugdytis.
Matematinio samprotavimo terminas apima ir indukcinius, ir dedukcinius mąstymo procesus.
Indukciniu būdu rasti argumentai padeda apibendrinti atskirus atvejus, pastebėti už jų slypinčius modelius ir taisykles, kelti hipotezes.
Samprotaudami dedukciniu būdu ne tik įrodome teiginių teisingumą, bet ir sudarome prielaidas įgyti naujų matematikos žinių.
A1. Natūralieji ir sveikieji skaičiai. 1-2 klasių koncentras.
Skaičiai nuo 0 iki 100.
Mokomasi skaičiuoti pirmyn ir atgal nuo bet kurio skaičiaus, susieti objektų kiekį su skaičiumi.
Aptariama skaičiaus ir skaitmens sąvokos, skaičių rašymo dešimtainėje pozicinėje skaičiavimo sistemoje ypatumai.
Tyrinėjama, kaip sudaryta 100 skaičių lentelė, kaip skaičių tiesėje galima pažymėti skaičius, pradedant nuo nulio.
Pasitelkiant įvairius praktinius modelius, mokomasi skaičius perskaityti, užrašyti skaitmenimis, skyrių suma, palyginti.
Sudėtis ir atimtis.
Sudėties ir atimties veiksmai aiškinami kaip skaičiavimas pirmyn ir atgal, aptariamas šių veiksmų ryšys.
Natūralieji ir sveikieji skaičiai. 1-2 klasių koncentras.
Skaičiai nuo 0 iki 1 000.
Nagrinėjami skaičiai iki 1 000, skaičiuojama pirmyn ir atgal nuo bet kurio skaičiaus.
Išsiaiškinama, kad triženklio skaičiaus šimtai, dešimtys ir vienetai užrašomi skaitmenimis.
III-IV gimnazijos klasių koncentras. Šaknys.
Apibendrinama laipsnio sąvoka; apibrėžiama lygybė \(a^ \frac m n= \sqrt [n] {a^m}\).
Mokomasi ja naudotis, pertvarkant skaitinius reiškinius su šaknimis ir laipsniais.
Pagrindžiama, kodėl laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais savybės: \(a^n \cdot a^m=a^{n + m}\), \(a^n ∶a^m=a^{n - m}\), \((a^m )^n=a^{m \cdot n}\), \((a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m\) \((a \cdot b)^m=a^m \cdot b^m\), \((a∶b)^m=a^m: b^m\).
III-IV gimnazijos klasių koncentras. A2. Paprastais atvejais nustato panašumą ar skirtumą, įžvelgia analogijas, konstruoja elementų sekas pagal nurodytą arba savo sugalvotą taisyklę, grupuoja objektus pagal du požymius.
Nesudėtingais atvejais nustato panašumą ar skirtumą, įžvelgia analogijas, konstruoja elementų sekas pagal nurodytą arba savo sugalvotą taisyklę, grupuoja objektus pagal du požymius.
Konsultuodamasis paprasčiausiais atvejais, o naudodamasis netiesiogiai teikiama pagalba paprastais atvejais nustato panašumą ar skirtumą, įžvelgia ir taiko analogijas, konstruoja elementų sekas, grupuoja objektus pagal du požymius.
Savarankiškai paprasčiausiais atvejais, o konsultuodamasis paprastais atvejais nustato panašumą ar skirtumą, įžvelgia ir taiko analogijas, konstruoja elementų sekas, grupuoja objektus pagal du požymius.
Savarankiškai paprastais atvejais, o konsultuodamasis nesudėtingais atvejais nustato panašumą ar skirtumą, įžvelgia ir taiko analogijas, konstruoja elementų sekas, grupuoja objektus pagal du požymius.
Nesudėtingais atvejais nustato panašumą ar skirtumą, įžvelgia ir taiko analogijas, konstruoja elementų sekas, grupuoja objektus pagal du požymius.
Konsultuodamasis paprasčiausiais atvejais, o naudodamasis netiesiogiai teikiama pagalba paprastais atvejais išskiria tyrinėjamų matematinių objektų savybes, suformuluoja jas kaip hipotezes.
Savarankiškai paprasčiausiais atvejais, o konsultuodamasis paprastais atvejais išskiria tyrinėjamų matematinių objektų savybes, suformuluoja jas kaip hipotezes.
Savarankiškai paprastais atvejais, o konsultuodamasis nesudėtingais atvejais išskiria tyrinėjamų matematinių objektų savybes, suformuluodamas jas kaip hipotezes.
Nesudėtingais atvejais išskiria tyrinėjamų matematinių objektų savybes, suformuluodamas jas kaip hipotezes.
Savarankiškai paprasčiausiais atvejais, o konsultuodamasis paprastais atvejais tyrinėja konkrečius ir abstrakčius matematinius objektus.
Savarankiškai paprastais atvejais, o konsultuodamasis nesudėtingais atvejais tyrinėja konkrečius ir abstrakčius matematinius objektus.
Nesudėtingais atvejais tyrinėja konkrečius ir abstrakčius matematinius objektus.
III-IV gimnazijos klasių koncentras.
Konsultuodamasis paprasčiausiais atvejais, o naudodamasis netiesiogiai teikiama pagalba paprastais atvejais tyrinėja konkrečius matematinius objektus.
Savarankiškai paprasčiausiais atvejais, o konsultuodamasis paprastais atvejais tyrinėja konkrečius matematinius objektus.
Savarankiškai paprastais atvejais savarankiškai, o konsultuodamasis nesudėtingais atvejais tyrinėja konkrečius ir abstrakčius matematinius objektus.
Nesudėtingais atvejais tyrinėja konkrečius ir abstrakčius matematinius objektus.
III-IV gimnazijos klasių koncentras.
Konsultuodamasis paprasčiausiais atvejais, o naudodamasis netiesiogiai teikiama pagalba paprastais atvejais tyrinėja įvairius matematinius objektus.
Savarankiškai paprasčiausiais atvejais, o konsultuodamasis paprastais atvejais tyrinėja įvairius matematinius objektus.
Savarankiškai paprastais atvejais, o konsultuodamasis nesudėtingais atvejais tyrinėja įvairius matematinius objektus.
A3. Sukuria paprasčiausios užduoties sprendimą.
Sukuria paprastos užduoties sprendimą.
Sukuria nuoseklų, pagrįstą paprastos užduoties sprendimą.
Sukuria paprasčiausios, o naudodamasis netiesiogiai teikiama pagalba ir paprastos užduoties sprendimą.
Sukuria paprastos užduoties sprendimą.
Bando perteikti matematines mintis, tačiau trūksta aiškumo, nuoseklumo, rišlumo, mintys kartojasi arba nutrūksta, pateikia nepilną atsakymą.
Sukuria nuoseklų paprastos užduoties sprendimą, jį paaiškina, tačiau trūksta tikslumo, išbaigtumo.
Sukuria nuoseklų, pagrįstą nesudėtingos užduoties sprendimą.
Matematines idėjas paaiškina ir pagrindžia.
Savarankiškai paprasčiausiais atvejais, o konsultuodamasis paprastais atvejais sukuria užduoties sprendimą, vertina matematinio pranešimo logiškumą.
Savarankiškai paprastais atvejais, o konsultuodamasis nesudėtingais atvejais sukuria nuoseklų, argumentuotą užduoties sprendimą, vertina matematinio pranešimo logiškumą.
Nesudėtingais atvejais sukuria nuoseklų, argumentuotą užduoties sprendimą, vertina matematinio pranešimo logiškumą.
Savarankiškai paprastais atvejais, o konsultuodamasis nesudėtingais atvejais sukuria nuoseklų, argumentuotą užduoties sprendimą, užrašo neformalų dedukcinį įrodymą, kritiškai vertina matematinio pranešimo logiškumą.
Nesudėtingais atvejais sukuria nuoseklų, argumentuotą užduoties sprendimą, kritiškai vertina matematinio pranešimo logiškumą.
Savarankiškai paprastais atvejais, o konsultuodamasis nesudėtingais atvejais sukuria nuoseklų, argumentuotą užduoties sprendimą, neformalų dedukcinį įrodymą.
Skiria hipotezę nuo įrodymo.
Nesudėtingais atvejais sukuria nuoseklų, argumentuotą užduoties sprendimą.
Sukuria paprastą abstraktų, formalų matematinį įrodymą.
III-IV gimnazijos klasių koncentras.
Konsultuodamasis paprasčiausiais atvejais, o naudodamasis netiesiogiai teikiama pagalba paprastais atvejais sukuria nuoseklų užduoties sprendimą, empiriškai patikrina prašomą įrodyti teiginį.
Savarankiškai paprasčiausiais atvejais, o konsultuodamasis paprastais atvejais sukuria nuoseklų, argumentuotą užduoties sprendimą, empiriškai patikrina prašomą įrodyti teiginį, kritiškai vertina matematinio pranešimo logiškumą (A3.2).
Savarankiškai paprastais atvejais, o konsultuodamasis nesudėtingais atvejais sukuria nuoseklų, argumentuotą užduoties sprendimą, neformalų dedukcinį įrodymą, kritiškai vertina matematinio pranešimo logiškumą (A3.3).
III-IV gimnazijos klasių koncentras.
A4. Paskatintas įsitraukia į matematikos mokymąsi.
Įsitraukia į matematikos mokymąsi.
Noriai dalyvauja matematikos mokymosi procese, jaučia atsakomybę už mokymosi rezultatus.
Nurodo, kas sekasi, ko dar reikia pasimokyti, įvardija priežastis, dėl kurių sekėsi arba nesisekė veikti.
Domisi matematika, aktyviai dalyvauja mokymosi procese, pasitiki savo jėgomis, mokydamasis matematikos; jaučia atsakomybę už savo daromą pažangą.
Nurodo savo stiprybes ir tobulintinas sritis, mokantis matematikos, įvardija priežastis, dėl kurių sekėsi arba nesisekė veikti.
Paskatintas įsitraukia į matematikos mokymąsi.
Įsitraukia į matematikos mokymąsi.
Nurodo, kas sekasi, ko dar reikia pasimokyti, įvardija priežastis, dėl kurių sekėsi arba nesisekė veikti.
Noriai dalyvauja matematikos mokymosi procese, jaučia atsakomybę už mokymosi rezultatus.
Nurodo savo stiprybes ir tobulintinas sritis, mokantis matematikos; įvardija priežastis, dėl kurių sekėsi arba nesisekė veikti.
Domisi matematika, aktyviai dalyvauja mokymosi procese, pasitiki savo jėgomis, mokydamasis matematikos; jaučia atsakomybę už savo daromą pažangą.
Paskatintas įsitraukia į matematikos mokymąsi.
Nurodo, kas sekasi, ko dar reikia pasimokyti, įvardija priežastis, dėl kurių sekėsi arba nesisekė veikti.
Įsitraukia į matematikos mokymąsi.
Nurodo savo stiprybes ir tobulintinas sritis, mokantis matematikos; įvardija priežastis, dėl kurių sekėsi arba nesisekė veikti.
Noriai dalyvauja matematikos mokymosi procese, jaučia atsakomybę už mokymosi rezulta...
Naudojantis koordinačių metodu skaičiais (koordinatėmis) nusakoma paprasčiausių geometrinių objektų (taško, tiesės, plokštumos) padėtis koordinačių sistemos atžvilgiu.
Analizinėje geometrijoje dažniausiai vartojama Descartes’o koordinačių sistema.
Koordinačių metodas analizinėje geometrijoje tašką ir skaičius susieja abipus vienareikšme atitiktimi: plokštumoje tašką atitinka skaičių dvejetas, o erdvėje - skaičių trejetas, ir atvirkščiai, kiekvieną skaičių dvejetą atitinka plokštumos taškas, o trejetą - erdvės taškas.
Analizinėje geometrijoje plokštumos kreivė išreiškiama lygtimi F(x, y) = 0, o kiekviena tokia lygtis reiškia plokščiąją kreivę.
Paviršius išreiškiamas lygtimi F(x, y, z) = 0, o kiekviena tokia lygtis analizinėje geometrijoje reiškia paviršių.
Dviejų pirmųjų lygčių sistema reiškia dviejų kreivių susikirtimo taškus, o antrųjų - dviejų paviršių bendruosius taškus, t. y. jų susikirtimo kreivę.
Kreivių ir paviršių savybių tyrimas koordinačių metodu taikant matematinę analizę paverčiamas lygčių tyrimu.
Tai ir yra analizinės geometrijos esmė.
Jei turimose Descartes’o koordinatėse F(x, y) yra daugianaris, tai kreivė vadinama algebrine (priešingu atveju ji vadinama transcendenčiąja).
Algebrinės kreivės eile vadinamas kreivės lygties laipsnis.
I eilės algebrinė kreivė, išreiškiama lygtimi ax + by + c = 0, yra tiesė ir, atvirkščiai, kiekviena tiesė analizinėje geometrijoje nusakoma I laipsnio lygtimi.
II eilės algebrinė kreivė išreiškiama lygtimi Ax2 + Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0.
Pvz., II eilės kreivės yra apskritimas, elipsė, hiperbolė, parabolė.
Sprendžiant n‑ojo ir I laipsnio lygčių sistemą gaunama n sprendinių (x, y dvejetų), kurie gali būti realieji arba menamieji skirtingi, arba kartotiniai, todėl kreivės eilė parodo, kiek kreivė turi susikirtimo taškų (realiųjų arba menamųjų, kartais ir sutampančių) su tiese.
Analogiškai, jei F(x, y, z) yra algebrinis daugianaris, tai paviršius, išreikštas lygtimi F(x, y, z) = 0, vadinamas algebriniu.
Algebrinio paviršiaus eile vadinamas jo lygties laipsnis.
I laipsnio lygtis ax + by + cz + d = 0 analzinėje geomètrijoje reiškia plokštumą ir, atvirkščiai, kiekviena plokštuma išreiškiama I laipsnio lygtimi ir laikoma I eilės paviršiumi.
II eilės algebrinis paviršius išreiškiamas lygtimi Ax2+ By2+ Cz2+ Dxy + Eyz + Fzx + Gx + Hy + Mz + N = 0.
Dviejų pirmojo laipsnio lygčių sistema a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0 reiškia tiesę erdvėje.
Pvz., II eilės paviršiai yra sfera, elipsoidas, paraboloidas, hiperboloidas.
Sprendžiant tokių dviejų lygčių ir n‑ojo laipsnio lygties sistemą gaunama n sprendinių (x, y, z trejetų), todėl paviršiaus eilė rodo, kiek paviršius turi susikirtimo taškų su tiese.
Kreivės arba paviršiaus lygtis priklauso nuo jų padėties koordinačių sistemos atžvilgiu.
Atitinkamai parinkus koordinačių sistemą lygtis supaprastėja, todėl ir nagrinėjamo objekto tyrimas palengvėja.
Pereinant iš vienos koordinačių sistemos į kitą vartojamos koordinačių transformacijos formulės - tiesinės lygtys, kurios taško koordinates vienoje koordinačių sistemoje išreiškia koordinatėmis kitoje koordinačių sistemoje: kreivės ir paviršiaus eilė nuo to nesikeičia.
Analizinėje geometrijoje dažnai vartojami vektoriai, kurie labai supaprastina analizės operacijas ir padeda lengviau sudaryti jų geometrinį vaizdą.
Analizinės geometrijos metodai taikomi įvairiose matematikos šakose, mechanikoje, fizikoje, astronomijoje.
Matematikoje koordinačių sąvokos užuomazgą galima rasti jau antikos matematikų veikaluose.
Tačiau tik 17 a., kai algebra jau buvo susiformavusi į atskirą matematikos discipliną, R. Descartes’as veikale La Géométrie (1637) vartodamas koordinačių sąvoką algebros metodais sprendė kai kuriuos geometrinius klausimus.
Jis laikomas analizinės geometrijos kūrėju.
Vėliau P. de Fermat, I. Newtonas, L. Euleris, J. L. de Lagrange’as R. Descartes’o mintį išplėtojo iki dabartinės analizinės geometrijos sąvokos.
Lietuvoje P. Katilius paskelbė darbų apie kreivių tinklus paviršiuose, parašė vadovėlį Analizinė geometrija (1940 31973).
Atsižvelgiant į tai, kaip analizinė geometrija taikoma algebrinių kreivių ir paviršių tyrimui, galima teigti, kad taškų išsidėstymas vienoje plokštumoje yra esminis aspektas, apibrėžiantis vektorines sąlygas.
Vektoriai, atitinkantys taškus vienoje plokštumoje, turi savybių, kurios leidžia nustatyti jų tarpusavio priklausomybę ir galimybę išreikšti vieną vektorių per kitus.
Ši savybė yra plačiai naudojama sprendžiant geometrines problemas ir analizuojant erdvinius santykius.
Šaknys. Apibendrinama laipsnio sąvoka; apibrėžiama lygybė \(a^ \frac m n= \sqrt [n] {a^m}\).
Mokomasi ja naudotis, pertvarkant skaitinius reiškinius su šaknimis ir laipsniais.
Pagrindžiama, kodėl laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais savybės: \(a^n \cdot a^m=a^{n + m}\), \(a^n ∶a^m=a^{n - m}\), \((a^m )^n=a^{m \cdot n}\), \((a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m\) \((a \cdot b)^m=a^m \cdot b^m\), \((a∶b)^m=a^m: b^m\).