Logika - tai mokslas apie samprotavimo taisyklingumą. Kiekvienas, baigęs vidurinę mokyklą, turi daugiau ar mažiau tikslią nuovoką apie tai, kas yra taisyklingumas ir samprotavimas. Apie taisyklingumą (tiesa, ne samprotavimo, o kalbos) šiek tiek žinome iš gimtosios kalbos gramatikos, o apie samprotavimą nuvokiame, nes pakankamai dažnai vartojame veiksmažodį "samprotauti".
Samprotavimas yra naujo teiginio gavimas iš turimų teiginių. Teiginys - tai toks sakinys, kuris yra arba teisingas, arba klaidingas. Tačiau ne visi sakiniai yra teiginiai, o tik tie, kurie reiškia sprendimą apie daiktą ar reiškinį. Jei daiktui iš tikrųjų būdinga tai, ką mes apie jį sprendžiame, šį sprendimą reiškiantis sakinys yra teisingas. Pvz., sakinys "Vilnius yra Lietuvos sostinė". Jei daiktui nėra būdinga tai, ką mes apie daiktą sprendžiame, sakinys yra klaidingas. Pvz., sakinys "Paryžius yra Lietuvos sostinė". Sakinys, kuris nereiškia sprendimo, nėra nei teisingas, nei klaidingas. Pvz., klausimą reiškiantis sakinys "Kiek dabar valandų?".
Samprotavimų būna įvairių. Kai kuriems jų keliami skirtingi taisyklingumo reikalavimai. Samprotavimai, kuriais gaunamas teiginys būtinai teisingas, jei turimi teiginiai teisingi, vadinami dedukciniais.
Pavyzdžiai:
- "Jei lyja, tai šlapia. Lyja."
- "Jei Vilnius yra Lietuvos sostinė, tai Vilniuje yra Lietuvos valdžios būstinė. Vilnius yra Lietuvos sostinė."
- "Visi europiečiai žmonės. Aš europietis."
Pirmu, trečiu ir ketvirtu pavyzdžiuose pateikti taisyklingi dedukciniai samprotavimai. Jais būtinai gausime teisingus teiginius, jei duoti teiginiai teisingi.
Tam, kad būtų įmanoma nustatyti samprotavimų taisyklingumą, logikai tyrinėja teiginių ypatumus, jų sandarą, ryšių dėsningumus, formuluoja teorijas, grindžiančias samprotavimų teiginiais taisykles bei kuria metodus, kuriais galima nustatyti, ar samprotavimai tų taisyklių nepažeidžia. Logikos teorijų ir jomis pagrįstų taisyklių bei metodų patikimumą padeda užtikrinti dirbtinės kalbos, kuriomis reiškiami pagrindiniai logikos terminai, teorijos, taisyklės bei metodai. Šios dirbtinės kalbos turi savo morfologiją, sintaksę, semantiką, jų išraiškos turi tikslias reikšmes. Be to, logikos teorijose panaudojamas aksiominis dedukcinis metodas, kurio dėka svarbiausios loginių tyrimų išvados tampa teoremomis, išvedamomis iš logikos aksiomų - nenuginčijamų teisingų logikos teorijos teiginių.
Logika, kuri naudoja dirbtines kalbas ir aksiominį dedukcinį teorinių tyrimų metodą, vadinama simboline logika. Natūralios kalbos žodžiai yra daugiareikšmiai. Daugiareikšmiškumas šalinamas apibrėžiant vartojamų žodžių reikšmes.
Dedukcijos taisyklės
Pavyzdžiui, mes pateikėme termino "teiginys" apibrėžimą, pagal kurį teiginys - tai toks sakinys, kuris yra arba teisingas, arba klaidingas. Paaiškinome, kad tik tie sakiniai, kurie reiškia sprendimą, gali būti teisingi ar klaidingi. Lyg ir viskas aišku. Tačiau pamėginkite nustatyti, ar žodžių junginys "Žalios bespalvės idėjos įnirtingai miega" yra teisingas ar klaidingas?
Tiesa, esama tokių samprotavimo taisyklingumo aspektų, kurie simbolių kalba ir aksiominėmis dedukcinėmis teorijomis dar nėra išreikšti, o gal net iš išvis neišreiškiami. Juos tiria logikos mokslo šakos, nepriklausančios simbolinei logikai. Pavyzdžiui, praktinė logika kaupia ir sistemina žinias apie taisyklingų įrodinėjimų praktiką, apie tas problemas ir sėkmes, su kuriomis susiduria sugebėjimą taisyklingai samprotauti lavinantys žmonės, o logikos filosofija tiria fundamentalias pačių logikos teorijų problemas.
Samprotavimų taisyklės ir samprotavimų taisyklingumo analizės metodai padeda išsiaiškinti bei užtikrinti įrodinėjimų, naudojamų tiek atskiruose moksluose, tiek kasdieniame gyvenime, patikimumą. Logikos mokslas ir jo rezultatai reikalingi kiekvienam asmeniui, kuriam darbe arba gyvenime prireikia įrodinėjimų arba šiaip samprotavimų. Pavyzdžiui, teisininkas savo darbe pastoviai susiduria ir su samprotavimais, ir su įrodinėjimais. Juk teismo nutartys yra tekstai, reiškiantys samprotavimą, prokuroro kalbos, grindžiančios kaltinamojo kaltumą, advokato kalbos, skirtos ginamo asmens nekaltumui yra įrodinėjimai. Policijos pareigūnų atliekamas nusikaltimų tyrimas yra versijų teisingumo arba klaidingumo įrodinėjimas. Be to, logikos teorijos panaudojamos kuriant kompiuterinę techniką, atliekančią skaičiavimo, tekstų analizės ir kt.
Teiginių Logika
Teiginių logika tiria tuos teiginių ir jų ryšių ypatumus, kuriuos lemia teiginių reikšmė. Tokiame teiginių tyrime sėkmingai panaudojama dirbtinė simbolių kalba. Mūsų aptariama teiginių logikos teorija yra simbolinės logikos dalis, viena pamatinių simbolinės logikos teorijų, kuri savo griežtumu nenusileidžia matematikos teorijoms. Simbolinė logika apima tik formuluojamas simbolių kalba teorijas, naudojančias aksiominį dedukcinį metodą.
Šiame poskyryje įvesime vienos iš galimų teiginių logikos dirbtinių kalbų ženklus, nurodysime jų reikšmes ir vartojimo taisykles.
Teiginių ir jų reikšmės žymėjimas
Propoziciniai kintamieji žymimi lotynų abėcėlės mažosiomis raidėmis "p", "q", "r", "s", "t", "u", "v", "x", "y", "z" arba šiomis raidėmis su indeksais, pvz. "r1", "r2", "r3",., "rn",., "z1", "z2", "z3",.,“zn”. Simbolis, žymintis teiginį, vadinamas propoziciniu kintamuoju. Propozicinis kintamasis nėra teiginys. Propozicinis kintamasis žymi vietą, kurią simbolių kalbos išraiškoje gali užimti teiginys, išreikštas simboliais arba natūralios kalbos žodžiais.
Propozicinis kintamasis skiriasi nuo teiginio tuo, kad jis neturi reikšmės. Teiginys reikšmę turi. Mes aptarsime dvireikšmę teiginių logiką, kurioje teiginys turi tik dvi reikšmes: "teisinga" ir "klaidinga". Jokių kitokių reikšmių teiginys šioje logikoje neturi. "Teisinga" žymėsime simboliu "1", o "klaidinga" - simboliu "0". Kai reikia pažymėti teiginio reikšmę teiginių logikos formulėje, vartojamas toks žymėjimas: teisinga - T, klaidinga - . Užrašas Tp arba p reiškia, kad konstanta priskirta propoziciniam kintamajam. Vienos iš šių reikšmių priskyrimas propoziciniam kintamajam paverčia propozicinį kintamąjį arba teisingu, arba klaidingu teiginiu.
Teiginys, gaunamas propoziciniam kintamajam priskyrus teiginio reikšmę, yra elementarus nedalomas teiginių logikos elementas, dar vadinamas elementariu teiginiu. Jo sandaros teiginių logika netyrinėja. Propoziciniai kintamieji yra dirbtinės simbolių kalbos išraiškos, kurios vadinamos elementariomis teiginių logikos formulėmis.
Teiginių logikos operatoriai
Teiginių logikos operatorius yra simboliu reiškiamas vienai arba kelioms elementarioms teiginių logikos formulėms priskirtų teiginio reikšmių kitimas. Jis jungia elementarioms formulėms priskirtas teiginio reikšmes su formulės, sudarytos iš tų elementarių formulių ir operatoriaus, teiginio reikšmėmis. Todėl teiginių logikos operatorius dar vadinamas jungtimi.
Elementarioms formulėms priskirtų teiginio reikšmių kitimams žymėti logikai naudoja įvairius simbolius.Mes naudosime tik vienos, labiausiai paplitusios sistemos simboliką, pavadintą tą sistemą sudariusių dvidešimto amžiaus anglų logiko Bertrand’o Russell’o ir devyniolikto amžiaus pabaigos italų matematiko Giuseppe’s Peano pavardėmis, - Peano-Russell’o sistemos simboliką.
Peano-Russell’o sistemoje yra vieno monadinio operatoriaus simbolis “” ir keturių dažniausiai naudojamų diadinių operatorių simboliai: “”, “”, “”, “”.
- Monadinis operatorius priskiriamas vienam teiginiui arba teiginių logikos formulei.
- Diadinis operatorius į vieną teiginį ar formulę apjungia du teiginius arba formules.
Operatoriai:
- “” - neigimas (žymi teiginio neigimą).
- “” - konjunkcija (atitinka teiginių jungimą jungtuku "ir").
- “” - silpnoji disjunkcija (atitinka teiginių jungimą jungtuku "arba").
- “” - materialioji implikacija.
- “” - materialioji ekvivalencija (atitinka teiginių jungimą jungtuku "jei ir tik jei.., tai.").
Bendrosios teiginių logikos simbolių vartojimo taisyklės
Teiginių logikos formulių sudarymo taisyklės
Teiginių logikos formule vadinama bet kuris teiginių logikos simbolis arba simbolių eilė. Formulių sudarymo taisyklės nurodo, koks atskirai užrašytas simbolis arba kokia simbolių eilė laikytini taisyklingomis teiginių logikos formulėmis.
Taisyklės:
- Propozicinis kintamasis yra taisyklingai sudaryta formulė.
- Jei yra kokia nors taisyklingai sudaryta formulė, tai irgi yra taisyklingai sudaryta formulė.
- Jei ir yra kokios nors taisyklingai sudarytos formulės, tai ( ), ( ), ( ), ( ) irgi yra taisyklingai sudarytos formulės, kuriose ir yra subformulės.
Skliaustai yra teiginių logikos techninis simbolis. Jie yra būtinas taisyklingai sudarytos formulės elementas, kai formulės sudarymui taikoma trečia taisyklė. Galima nenaudoti tik tų skliaustų, kuriais apskliaustina visa formulė. Sudėtingesnėje formulėje skliaustai žymi subformules su diadiniais operatoriais.
Pirmąją ir antrąją taisyklingų formulių taisyklę tenkinančios subformulės skliaustais nežymimos.
Formulės subformulės yra visos formulės dalys, kurios atitinka taisyklingų formulių taisykles: pvz., formulės (p r) subformulės yra p, r, r, p r.
Formulės, kuri sudaryta pagal trečią formulių sudarymo taisyklę panaudojant operatorius “”, “”, narių skaičius dviem nariais nėra ribojamas.
Formulių sudarymo taisyklės įgalina grynai mechaniškai sudaryti taisyklingas formules.
Pavyzdžiai: p r, pp, (p r), r p, (pp)p r).
Šiame poskyryje pateikėme visus dirbtinės teiginių logikos kalbos simbolius, išskyrus pasekmės santykio simbolį. Sekmens santykio simboliu dirbtinę teiginių logikos kalbą papildysime poskyryje "Loginiai formulių santykiai", kuriame aptarsime, ką reiškia išvedimas teiginių logikoje.
Interpretacija teiginių logikoje
Ankstesniame knygos poskyryje pateikėme dirbtinės teiginių logikos kalbos simbolius ir taisyklingų teiginių logikos formulių sudarymo taisykles. Propozicinio kintamojo simbolis yra teiginių logikos kalbos elementas, kurį turi visos formulės. Šis simbolis nieko konkretaus nereiškia. Būtent dėl to ir kitų simbolių reikšmė nėra aiški.
Interpretacija yra teksto reikšmės išaiškinimas. Dirbtinės teiginių logikos kalbos tekstas yra bet kuri jos simbolių eilė. Ši eilė vadinama teiginių logikos formule.
Jei dirbtinės kalbos simbolių interpretacija yra tokia, kad atitinka svarbiausius kitos kalbos tekstų reikšmės ypatumus, dirbtinės kalbos išraiškos pagal reikšmę atitinka tos kalbos tekstus.
Knygos poskyryje "Pagrindinai teiginių logikos terminai ir simboliai" minėjome, kad propozicinis kintamasis neturi konkrečios reikšmės. Kintamajam reikšmė priskiriama. Reikšmės kintamajam priskyrimas yra propozicinio kintamojo interpretacija.
Propoziciniam kintamajam galima priskirti dvi reikšmes:
- Propozicinis kintamasis reiškia kokį nors konkretų teiginį.
- Propozicinis kintamasis reiškia vieną iš dviejų G.Boole’o konstantų: "teisinga" arba "klaidinga".
Toliau remsimės būtent šiomis propozicinio kintamojo interpretacijomis.
Teiginių logikos sistemos, kuriose propozicinių kintamųjų simboliai neturi interpretacijos, vadinamos neinterpretuotomis sistemomis. Tokios sistemos naudojamos teiginių logikos operatorių ir formulių bendriausių ypatumų tyrimui. Teiginių logikos operatorių ir formulių dėsningumai, nustatyti neinterpretuotose sistemose, tinka ir interpretuotoms teiginių logikos sistemoms.
"Teisinga" ir "klaidinga" dar vadinamos G.Boole’o konstantomis. Jas galima suprasti taip: "teisinga" ir "klaidinga" yra nekintanti kokybė, kai ji nėra susieta su teiginiu. Sąsajoje su teiginiu kinta ne ši kokybė, bet teiginio reikšmė.
Kintamųjų eilės interpretacija yra bet kuri kintamųjų interpretacijų ,,,.n eilė, kurios yra p1 interpretacija, o - p2, - p3, n - pn interpretacija.
Kai eilėje yra vienas kintamasis p1 (n = 1), kintamųjų eilė turi dvi skirtingas interpretacijas: p1 reiškia arba 1, arba 0.
Propozicinių kintamųjų eilės skirtingų interpretacijų skaičius nustatomas pagal vieną iš paprasčiausių matematikos šakos, vadinamos kombinatorika, lygčių, skirtą gretinių su pasikartojimais skaičiui nustatyti. Ši lygtis tokia: I = nm, kurioje I yra propozicinių kintamųjų eilės interpretacijų skaičius, n yra vieno propozicinio kint...