Matematika yra reikšminga pasaulio mokslo, technologijų ir visuomenės bei kultūros pažinimo dalis. Matematikos dalykui mokykloje tenka išskirtinis vaidmuo, ugdant mokinių skaičiavimo, abstrakčiojo, loginio mąstymo, vaizdinio, erdvinio mąstymo, duomenų tyrybos ir interpretavimo formalizavimo, abstrahavimo gebėjimus.
Mokydamiesi matematikos, mokiniai kaupia žinias apie matematines sąvokas ir jų ryšius, mokosi sklandžiai ir tiksliai atlikti procedūras, ugdosi supratimą apie tai, kaip yra nustatomi bendrumai ir skirtumai, kuriamos matematinių sąvokų struktūros. Tvirtos žinios ir nuolat stiprinami pagrindimo, argumentavimo ir matematinio komunikavimo gebėjimai suteikia galimybę mokiniams kritiškai vertinti, kūrybiškai veikti, efektyviai komunikuoti įvairiuose mokiniui aktualiuose, prasminguose ir suprantamuose kontekstuose.
Mokant matematikos, siekiama ne tik matematikos kaip dalyko tikslų, bet ir bendrųjų ugdymo tikslų, ypač metakognityviojo mąstymo, bendravimo ir bendradarbiavimo gebėjimų ugdymo srityse. Gilus supratimas pasiekiamas, kai mokiniams sudaromos galimybės ne tik gerai suprasti matematikos mokymo(si) turinyje numatytas faktines žinias ir išmokti sklandžiai atlikti matematines procedūras.
Ypač daug dėmesio turi būti skiriama mokinių konceptualioms ir metakognityvinėms žinioms, taip pat matematinio samprotavimo (indukcinio ir loginio-dedukcinio mąstymo) gebėjimams lavinti. Perprasti ir įvaldyti matematikai būdingą simbolinę kalbą mokiniams padeda situacijos, kuriose atsiveria daug galimybių matematines sąvokas ir idėjas suprasti, taikyti, kurti, naudojantis įvairiomis priemonėmis (fizinėmis ir skaitmeninėmis) bei išreiškiant įvairiomis formomis (tekstu, vaizdu, simboliais; žodžiu, raštu).
Mokiniai, atlikdami įvairias matematines užduotis, spręsdami matematines problemas, dalyvaudami projektinėse veiklose, turėtų tikslingai, kūrybiškai, saugiai ir etiškai naudotis skaitmeninėmis priemonėmis bei įrankiais, skirtais braižyti, modeliuoti ar projektuoti, duomenims apdoroti ir pateikti, ieškoti informacijos, rengti pranešimus, bendrauti ir bendradarbiauti.
Gilus nagrinėjamų matematinių sąvokų ir procedūrų supratimas, tobulėjantys indukcinio ir loginio - dedukcinio mąstymo gebėjimai mokiniams suteikia galimybę ir skatina vis aktyviau įsitraukti į jiems aktualių ir prasmingų realaus gyvenimo problemų sprendimą. Kritiškai vertindami įvairią skaitinę, grafinę informaciją, rinkdami ir analizuodami duomenis apie juos supančią aplinką, dalyvaudami diskusijose apie matematikos vaidmenį, sprendžiant įvairias gyvenimiškas problemas, mokiniai puoselėja ir tokias asmenines bei tarpasmenines savybes kaip efektyvus savo veiklos planavimas, organizavimas ir valdymas, gebėjimas prisiimti atsakomybę, dirbant individualiai ir su kitais.
Tik mokėdami paaiškinti ir pagrįsti atliekamas procedūras, mokiniai įgauna tvirtą pamatą matematinio samprotavimo gebėjimams ugdytis. Matematinio samprotavimo terminas apima ir indukcinius, ir dedukcinius mąstymo procesus. Indukciniu būdu rasti argumentai padeda apibendrinti atskirus atvejus, pastebėti už jų slypinčius modelius ir taisykles, kelti hipotezes. Samprotaudami dedukciniu būdu ne tik įrodome teiginių teisingumą, bet ir sudarome prielaidas įgyti naujų matematikos žinių.
Kreivės ir jų apibrėžimai
Kreivė įvairiose matematikos šakose apibrėžiama įvairiai; tai priklauso nuo nagrinėjimo tikslų ir metodų. Elementarioji geometrija nagrinėja tiesę, atkarpą, laužtę, apskritimą ir kitas kreives, kurių kiekviena apibrėžiama atskirai. Daug tokių pat kreivių nagrinėja ir analizinė geometrija. Joje plokščiąja kreive vadinama aibė plokštumos taškų, kurių afiniosios koordinatės x, y tenkina lygtį F(x, y) = 0, erdvine kreive - aibė erdvės taškų, kurių afiniosios koordinatės x, y, z tenkina dvi lygtis F1(x, y, z) = 0 ir F2(x, y, z) = 0.
Kreivė, kurią galima išreikšti algebrine lygtimi, vadinama algebrine, visos kitos kreivės vadinamos transcendenčiosiomis. Svarbios plokščiosios algebrinės kreivės, reiškiamos lygtimi F(x, y) = 0, kai F(x, y) - kintamųjų x, y daugianaris. Daugianario laipsnis n vadinamas kreivės eile; ji parodo, kiek kreivių turi susikirtimo taškų (realių arba menamų, kartais ir sutampančių) su tiese.
I eilės kreivės yra tiesės, II eilės svarbiausios kreivės yra apskritimas, elipsė, hiperbolė, parabolė; III eilės kreivės yra pvz., Descartes’o lapas, kubinė parabolė, IV eilės - astroidė, Bernoulli lemniskatė, Descartes’o ovalas. Transcendenčiosios kreivės yra trigonometrinių funkcijų, rodiklinės funkcijos, logaritminės funkcijos grafikai, Archimedo spiralė, cikloidė, grandininė kreivė.
Kartais kreive laikoma aibė plokštumos (erdvės) taškų, kurių koordinatės yra vieno kintamojo funkcijos. Tokią kreivę galima išreikšti parametrine forma. Plokščiosios kreivės parametrinės lygtys yra x = x(t), y = y(t), erdvinės (trimatėje erdvėje) - x = x(t), y = y(t), z = z(t); čia x(t), y(t), z(t) - tolydžiosios kuriame nors baigtiniame ar begaliniame skaičių tiesės intervale t funkcijos.
Diferencialinėje geometrijoje toms funkcijoms keliamos diferencijuojamumo iki tam tikros eilės sąlygos. Kreivių savybes nagrinėja kreivių teorija. 1882 C. Jordanas apibrėžė kreivę (ji vadinama Jordano, arba paprastąja, kreive) kaip aibę skirtingų plokštumos taškų M(x, y) (jų koordinatės x = x(t), y = y(t) yra parametro t∈[a, b] tolydžiosios funkcijos), atitinkančių skirtingas t∈(a, b) reikšmes. Taigi Jordano kreivė neturi kartotinių taškų. Jei kreivės pradžios ir galo taškai sutampa, ji vadinama uždarąja.
1882 C. Jordanas įrodė, kad kiekviena uždaroji kreivė plokštumą dalija į dvi sritis, kurių bendras kontūras yra ta kreivė. Jordano kreivė vadinama glodžiąja, kai funkcijos x(t) ir y(t) yra tolydžiai diferencijuojamos, t. y. jų išvestinės yra tolydžiosios funkcijos. Jei kreivę galima suskaidyti į baigtinį skaičių glodžiųjų kreivių, ji vadinama dalimis glodžia kreive. aibė yra aprėžtoji. . C. Jordanas įrodė, kad Jordano kreivė yra ištiesinamoji tada ir tik tada, kai x(t) ir y(t) yra baigtinės variacijos funkcijos intervale [a, b]. 1890 G. Peano įrodė, kad egzistuoja tokios Jordano kreivės, kurios gali skirtis nuo įsivaizduojamų kreivių. Funkcijų teorijoje kreivės apibrėžimą pateikė Pavelas Urisonas (SSRS).
Funkcijos samprata
Apibrėžiamos sąvokos: funkcija, funkcijos argumentas, funkcijos reikšmė, funkcijos apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis, funkcijos grafikas. Mokoma(si) funkciją apibūdinti žodžiais, lentele, grafiku, formule (naudojantis ir skaitmeninėmis priemonėmis), apskaičiuoti ir (ar) nustatyti funkcijos reikšmes, kai yra žinoma funkcijos argumento reikšmė, ir atvirkščiai. Aiškinama(si), kuo funkcijos grafiko eskizas skiriasi nuo grafiko. Mokoma(si) nustatyti funkcijos apibrėžimo sritį, reikšmių sritį, funkcijos grafiko susikirtimo su koordinačių ašimis taškus; intervalus, kuriuose funkcija įgyja teigiamas ir neigiamas reikšmes; yra didėjančioji, mažėjančioji ar pastovioji.
Ar Apskritimas Yra Funkcijos Grafikas?
Apskritimas nėra funkcijos grafikas, nes vienai x reikšmei gali atitikti daugiau nei viena y reikšmė. Kad grafikas būtų funkcijos grafikas, jis turi atitikti vertikaliosios tiesės testą, t. y. bet kuri vertikali tiesė turi kirsti grafiką ne daugiau nei vieną kartą.
Apskritimo lygtis yra x² + y² = r², kur r yra apskritimo spindulys. Iš šios lygties matyti, kad vienai x reikšmei gali atitikti dvi y reikšmės (teigiama ir neigiama). Todėl apskritimas neatitinka funkcijos apibrėžimo.
Tačiau, apskritimą galima apibrėžti kaip dviejų funkcijų grafikus: viršutinio pusapskritimio ir apatinio pusapskritimio. Viršutinio pusapskritimio lygtis yra y = √(r² - x²), o apatinio pusapskritimio lygtis yra y = -√(r² - x²). Šios dvi funkcijos kartu sudaro apskritimą.
Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos
Trigonometrijoje dažnai susiduriame su uždaviniais, kuriuose žinome trikampio kraštinių ilgius arba trigonometrinių funkcijų reikšmes, o reikia rasti kampų dydžius. Būtent čia į pagalbą ateina atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, dar vadinamos ciklometrinėmis funkcijomis. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra sinuso, kosinuso ir tangento funkcijų “priešingybės”. Jos žymimos arcsin, arccos ir arctan (arba sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹). Šios funkcijos grąžina kampo reikšmę, kai žinome jo sinuso, kosinuso arba tangento reikšmę.
Pavyzdžiui, jei sin α = 0.5, tai arcsin 0.5 = α = 30°. Reikšmių sritis: -π/2 < arctan x < π/2 Šios ribos yra svarbios, nes jos nurodo, kokius kampus galime rasti naudodami atvirkštines funkcijas.
Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikai yra gaunami “apverčiant” atitinkamų trigonometrinių funkcijų grafikus per tiesę y = x. Tarkime, turime statųjį trikampį, kurio įžambinė yra 5 cm, o vienas iš statinių yra 3 cm. Norėdami rasti α, naudojame arksinusą: α = arcsin(3/5) ≈ 36.87°. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra nepamainomas įrankis sprendžiant įvairius uždavinius, kuriuose reikia rasti kampus.