Šiame straipsnyje panagrinėsime, ar neigiamas skaičius gali būti sveikasis skaičius. Pradėsime nuo termino "integer" etimologijos ir kilmės, apžvelgsime jo kalbinį taikymą, gramatinę struktūrą bei semantiką.
Etimologija ir kilmė: Žodis "integer" kilęs iš lotynų kalbos žodžio *integer*, kuris reiškia „pilnas, sveikas, nesužeistas, nepažeistas“ (iš lot. *in-* - "ne" ir *teger* - "pažeistas, sužeistas"). Daugelyje kalbų, įskaitant lietuvių, šis žodis buvo priimtas kaip techninis terminas, dažniausiai naudojamas matematikos, logikos ir kompiuterijos kontekstuose, apibūdinant sveikus skaičius, kurie nėra dalomi, t.y. neturi trupmeninės dalies.
Kalbinis taikymas: Lietuvių kalboje žodis "integer" dažnai vartojamas matematikos ir kompiuterinių mokslų kontekstuose, nors tiesioginis vertimas iš lotynų kalbos (pvz., "sveikas skaičius") būdingas. Tai terminas, kuris nurodo tokius skaičius, kaip -3, 0, 7 ir pan., t.y. sveikasis skaičius gali būti ir neigiamas.
Gramatinė struktūra ir vartojimas: Lietuvių kalboje žodis "integer" naudojamas kaip daiktavardis, tačiau tai nėra tradicinis lietuvių kalbos žodis, todėl dažnai vartojamas be tiesioginių gramatiškai lietuviškų pokyčių.
Semantika: "Integer" žodis, kai jis yra naudojamas matematikos kontekste, paprastai nurodo bet kurį sveiką skaičių, t. y., skaičius be trupmeninės dalies. Tai gali būti tiek teigiamas, tiek neigiamas skaičius (pvz., -5, 0, 7). Iš esmės, tai prieštarauja trupmeniniams skaičiams (pvz., 1/2, 3.14) ir racionaliems skaičiams, kuriuos galima išreikšti kaip dalį (pvz., 1.75).
Funkcinė reikšmė: Šis terminas dažnai naudojamas kompiuteriuose ir programavime, kur "integer" duomenų tipas nurodo kintamąsias ar reikšmes, kurios gali būti tik sveikieji skaičiai, pvz., -2, 0, 15.
Neigiami skaičiai: apžvalga
Lingvistinės savybės: Kalbant apie žodžio "integer" gramatinę struktūrą lietuvių kalboje, jis dažniausiai lieka tokioje pačioje formoje kaip ir kitose kalbose, nes tai techninis terminas.
Skaičių aibės
Pradėsime kelionę po matematikos pasaulį nuo pačių pagrindų. Suprasti skaičius ir kaip su jais elgtis yra labai svarbu, nes tai bus reikalinga visose kitose temose. Įsivaizduok, kad skaičiai, kaip ir žmonės, mėgsta buriuotis į komandas arba gyventi skirtinguose "nameliuose". Matematikoje tokias skaičių grupes vadiname aibėmis.
Natūralieji skaičiai: Tai patys pirmieji skaičiai, kuriuos išmokstame vaikystėje. Kas jie? Kodėl "natūralieji"? Svarbu: Kartais prie natūraliųjų skaičių priskiriamas ir nulis (0), bet mokyklinėje matematikoje dažniausiai sutariama, kad natūralieji prasideda nuo 1.
Sveikieji skaičiai: Kai pradedame kalbėti apie temperatūrą žiemą (pvz., -5 laipsniai šalčio) arba apie skolas, mums prireikia neigiamų skaičių. Kas jie?
Racionalieji skaičiai: Įsivaizduok, kad daliji picą į kelias dalis. Viena dalis jau nebebus visas daiktas, o tik jo dalis. Kas jie? Visi skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip trupmeną $\frac{m}{n}$, kur $m$ yra sveikasis skaičius, o $n$ yra natūralusis skaičius (t.y. Visos begalinės periodinės dešimtainės trupmenos (pvz., $0.333...$, kas yra $\frac{1}{3}$; $0.121212...$, kas yra $\frac{12}{99}$ arba $\frac{4}{33}$).
Iracionalieji skaičiai: Yra skaičių, kurių niekaip nepavyks tiksliai užrašyti paprasta trupmena $\frac{m}{n}$. Kas jie? $\sqrt{2}$ (kvadratinė šaknis iš dviejų) - skaičius, kurį padauginus iš savęs, gautume 2.
Realieji skaičiai: Tai pati didžiausia skaičių "komanda", apie kurią dažniausiai kalbame mokykloje.
Neigiamų skaičių istorija
Iki 19 amžiaus pabaigos Europos matematikoje neigiamieji skaičiai nebuvo pilnai pripažinta aritmetikos dalimi. Tuo tarpu Kinijoje ir Indijoje gerokai anksčiau neigiamieji ir teigiamieji skaičiais buvo laikomi iš esmės lygiaverčiais. Šia prasme neigiamųjų skaičių istorija yra ypatinga, nors ne vienintelė tokia.
Glaustą savąjį šios istorijos variantą siūlo D. Mumfordas straipsnyje What’s so Baffling About Negative Numbers? - a Cross-Cultural Comparison. Juo autorius pagrindžia dvi priežastis paaiškinančias neigiamųjų skaičių kontraversiją Vakarų kultūros kontekste. Pirma, iki 17 amžiaus Euklido ,,Pradmenys“ turėjo didžiulę įtaką matematikos vystymosi krypčiai ir jos supratimui. Skaičiaus ir dydžio samprata šiame Euklido veikale nepalieka vietos neigiamiesiems skaičiams. Antra, atsitiko taip, kad kartu su neigiamaisiaisskaičiais prisireikė menamųjų skaičių (kvadratinės šaknys iš neigiamų skaičių).
Neigiamieji skaičiai Rytų kultūros matematikoje
Jiuzhang Suanshu (Nine Chapters on the Mathematical Art) yra kinų matematikos knyga savo svarba panaši į Euklido ,,Pradmenis“ Vakarų kultūroje. Knygą sudaro matematikos sąvokos ir metodai, kurie atsirado palaipsniui, pradedant Zhou (ar Chou) dinastija (1000 m. pr. Kr.) ir toliau plėtojami Vakarų Han dinastijoje (iki 9 amžiaus). Savo laiku pirmajame tūkstantmetyje prieš mūsų erą kiniečiai pradėjo naudoti skaičiavimo lazdeles, grupuodami jas eilėmis ir naudodami dešimtainę sistemą. Atlikdami skaičiavimus, skirtingus skaičius reiškė lazdelių eilėmis, kurios sudarė groteles.
Neigiamieji skaičiai Devyniuose Skyriuose naudojami sprendžiant tiesines lygtis. Lygčių sprendimo metodas yra tas pats, kurį mes dabar vadiname Gauso nuoseklaus nežinomųjųeliminavimo metodu. Teigiamieji skaičiai vaizduojami raudonomis lazdelėmis, o neigiami skaičiai - juodomis. Mumfordo teigimu, iš knygos teksto darosi aišku, kad neigiamieji skaičiai buvo nagrinėjami ir naudojami visiškai teisingai tada, kai jųprisireikdavo, galimai pirmą kartą pasaulyje.
Kinų algebra suklestėjo Songo ir Yuano dinastijose. Kinų matematikas Zhu Shijie (apie 1260 - apie 1320) ištobulino Gauso metodą taikydamas jį sprendžiant daugianarių sudarytoms lygčių sistemoms. Neigiamųjų skaičių teorijos žinojimas yra būtina sąlyga plėtojant algebrą.
Tuo tarpu Indijoje neigiamieji skaičiai akivaizdžiai naudojami dar 628 mūsų eros metais pasirodžiusiame Brahmaguptos veikale Brahma-sphuta-siddhanta. Manoma, kad ankstesniuose indų darbuose skirtuose finansiniams skaičiavimams neigiami skaičiai turėjo turėti prasmę bent jau netiesiogiai. Brahmaguptos veikale daugiau dėmesio skiriama astronomijai (saulės, mėnulio ir planetų judėjimo ir jų padėties duotu momentu nustatymas). Didelė teksto dalis turi eilėračių formą, turinys perteikiamas labai koncentruotai ir yra sunkiai suprantamas, žinios skirtos mokytis mintinai perduodant jas iš kartos į kartą.
Matematikai skirti du knygos skyriai ir ją sudaro ankstesniai laikais sukauptos matematikos sąvokos ir metodai. Teigiamųjų ir neigiamųjų skaičių aritmetika yra aiškiai suformuluota eilėraščių formoje.
Mumfordas išreiškia gailestį, kad nėra jokių duomenų paaiškinančių kaip buvo gauti, mūsų požiūriu, visiškai teisingi neigiamųjų skaičių aritmetikos teiginiai. Kaip ir Kinijoje, indų žinios apie neigiamuosius skaičius leido jiems gilintis į algebrą. Žinių gilumą rodo jų gebėjimas spręsti kai kurias sudėtingas lygtis ir suprasti jų sprendinių savybes.
Įdomu tai, kad skaičių žymėjimas taškais geometrinėje tiesėje į dešinę nuo nulio atidedantteigiamus skaičius ir į kairę nuo nulio atidedant neigiamus skaičius naudojamas 12-ame amžiuje Bhaskara II darbuose.
Al-Khwarizmi ir neigiamieji skaičiai
Standartinė matematikos istorija sako, kad viduramžiais arabai buvo tarpininkais, kurių dėka europiečiai atgavo Antikinės Graikijos matematikų palikimą, o kartu su juo sužinojo apie indų ir arabų matematikų darbus. Tačiau, bent jau indų požiūris į neigiamuosius skaičius šiuo keliu į Europą nepateko.
Manoma, kad Europoje apie arabų matematikos žinias sužinota 12-ame amžiuje, kai į lotynų kalbą buvo išversti persų matematiko Al-Khwarizmi (apie 780 - apie 830) darbai. Svarbiausias jų yra kvadratinių lygčių sprendimui skirtas veikalas The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. Pavadinimo lotyniškame vertime pasirodė žodis, kuris evoliucionavo į matematikos terminą ,,algebra“.
Knygoje parodoma kaip bet kurią pirmojo ir antrojo laipsnio lygtį suvesti į vieną iš šešių bendro pavidalo lygčių. Tiesa, knygoje nėra naudojami matematiniai simboliai įprasti dabartinėje matematikoje. Tokia algebros forma vadinama retorine. Bet samprotavimai yra panašūs į šiais laikais įprastus lygčių pertvarkymus.
Šie pertvarkymai buvo naujas metodas skirtingas nuo Euklido ,,Pradmenyse“ naudojamo geometrinio įrodymo metodo.
Al-Khwarizmi knygoje apie algebrą Mumfordas išskiria tris jo teigimu ypatingai keistus dalykus. Pirma, neigiamieji skaičiai sutinkami tik vieną kartą, kai bandoma pagrįsti (3) lygybę. Bet kitose vietose neigiami skaičiai daugiau neminimi. Lygybė šiose lygtyse reiškia lygybę tarp teigiamų skaičių. Tokia kvadratinių lygčių kvalifikacija yra būdingai beveik visai europinei tradicijai iki 19 amžiaus vidurio.
Kol kas galime tik spėlioti kodėl Al-Khwarizmi vengė neigiamųjų skaičių.
Apibendrinant, neigiami skaičiai gali būti sveikieji skaičiai, nes jie atitinka apibrėžimą - tai skaičiai be trupmeninės dalies, kurie gali būti tiek teigiami, tiek neigiami. Tai plačiai naudojama matematikoje, kompiuterijoje ir kasdieniame gyvenime.
Skaičių tiesė su pavaizduotais teigiamais ir neigiamais skaičiais