Šiame straipsnyje aptarsime, kaip nustatyti, ar trys vektoriai yra komplanarūs. Pradėsime nuo pagrindinių sąvokų, tokių kaip vektoriaus koordinatės Dekarto sistemoje, vektorinė dviejų vektorių sandauga ir vektorių mišrioji sandauga. Pateiksime pavyzdžių ir uždavinių, kurie padės geriau suprasti šią temą.
Vektoriaus koordinatės Dekarto sistemoje
Dekarto koordinačių sistemoje vektorius gali būti aprašytas savo koordinatėmis. Dydžiai vadinami vektoriaus koordinatėmis. Trumpiau vektoriaus koordinatės nurodomos taip: (). Šios koordinatės nurodo vektoriaus projekcijas į atitinkamas koordinačių ašis.
Vektorinė dviejų vektorių sandauga
Apibrėžimas
Vektorinė dviejų vektorių sandauga yra vektorius, statmenas abiem pradiniams vektoriams. Tarkime, kad ir yra nekolinearieji vektoriai. Jų sudaromą kampą pažymėkime.
Savybės
Vektorinė sandauga turi keletą svarbių savybių, kurios leidžia ją lengviau apskaičiuoti ir naudoti sprendžiant uždavinius. Remdamiesi vektorinės sandaugos apibrėžimu, sudarykime vektorių ir vektorinių sandaugų lentelę.
Geometrinis kryžiaus sandaugos apibrėžimas | Daugialypis skaičiavimas
Vektorių mišrioji sandauga
Vektorių mišrioji sandauga yra skaliarinis dydis, kuris gaunamas apskaičiuojant vieno vektoriaus skaliarinę sandaugą su kitų dviejų vektorių vektorine sandauga. Mišrioji sandauga leidžia nustatyti, ar trys vektoriai yra komplanarūs.
Teorema: Trys vektoriai yra komplanarūs tada ir tik tada, kai jų mišrioji sandauga lygi nuliui.
Pavyzdys
Patikrinkite, ar vektoriai a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6) ir c = (7, 8, 9) yra komplanarūs.
Sprendimas
Apskaičiuojame mišriąją sandaugą:[a, b, c] = a ⋅ (b × c). Jei rezultatas lygus nuliui, vektoriai yra komplanarūs.
Apskaičiuojame b × c = (5*9 - 6*8, 6*7 - 4*9, 4*8 - 5*7) = (-3, 6, -3).
Tada a ⋅ (b × c) = 1*(-3) + 2*6 + 3*(-3) = -3 + 12 - 9 = 0.
Kadangi mišrioji sandauga lygi nuliui, vektoriai a, b ir c yra komplanarūs.
Uždaviniai savarankiškam darbui
Pateikiame kelis uždavinius, skirtus savarankiškam darbui, kurie padės įtvirtinti žinias apie vektorių komplanarumo nustatymą:
- Duotos trikampio trys viršūnės: . Rasti plotą. ATS.:
- Raskite lygiagretainio, sudaryto iš vektorių ir plotą, jeigu ir ATS.:
- Raskite vektorių , kuris statmenas vektoriams ir ir jo projekcija į vektorių lygi 1.
Papildomi uždaviniai
| Uždavinys | Atsakymas |
|---|---|
| Rasti plotą trikampio, kurio viršūnės duotos. | (priklauso nuo duotų viršūnių koordinačių) |
| Rasti lygiagretainio plotą, sudaryto iš vektorių. | (priklauso nuo vektorių koordinačių) |
| Rasti vektorių, statmeną kitiems vektoriams. | (priklauso nuo vektorių koordinačių) |