Trupmenos sąvoka yra viena pirmųjų, sukelianti rimtų sunkumų mokantis matematikos mokykloje. Vėliau sunkumų tik daugėja, tačiau trupmenos turi savo išskirtinumą.
Trupmenų (ne)supratimą iliustruoja anekdotai ir net priežodžiai. P. Mašioto liudijimu, panašus požiūris į trupmenas buvo ir prieš šimtą metų. Savo straipsnyje jis rašo: ,,….vokietis, patekęs į painią situaciją, sakosi į trupmenas įbridęs“ (P. Mašiotas. Skaičiaus sąvokos augimas.
Siekiant įveikti sunkumus su trupmenomis, paprastai naudojamos įvairios pedagoginės priemonės. Trupmenos sąvoką stengiamasi padaryti paprastesne ir aiškesne, interpretuojant ją konkrečiais tikrovės objektais, pavyzdžiui, dalijant picą ar tortą į dalis. Be abejonės, pirmosiose mokyklos klasėse neišvengiamai tenka pradėti nuo intuityvios trupmenos sampratos. Tačiau 5-oje ar 6-oje klasėje yra būtina žengti pirmuosius žingsnius, bandant aiškinti abstrakčias sąvokas.
Penktos klasės vadovėliuose yra įprasta trupmenos aiškinimą pradėti nuo picos dalijimo, kaip ir pradinėse klasėse. Tokia trupmenos apibūdinimų gausa yra pirmoji problema. Trupmena siejama su iš pažiūros labai skirtingomis sąvokomis. Antroji panašių apibūdinimų problema yra ta, kad nei vienas jų nėra naudojamas paaiškinti visas trupmenų savybes, tokias kaip trupmenų ekvivalentumas, tvarka tarp trupmenų ir aritmetinės operacijos su trupmenomis. Kiekviena trupmenų savybė apibrėžiama pasitelkiant vienu iš daugelio apibūdinimų arba tik iliustruojant pavyzdžiais.
Trečia problema yra ta, kad trupmenos apibūdinimuose naudojamos neapibrėžtos sąvokos. Ketvirta problema susijusi su klausimu: ,,trupmena yra skaičius ar simbolis?“ Pripažinimas, kad trupmena yra skaičius, reiškia, kad trupmena yra vienareikšmiškai apibrėžtas matematinis objektas. Pripažinimas, kad trupmena yra simbolis, reiškia, kad trupmena yra matematinio objekto vardas.
Problemą sudaro tai, kad kalbant apie trupmeną, dažnai ignoruojamas skirtumas tarp galimų trupmenos vaidmenų. Vienais atvejais teigiama, kad: ,,Trupmena yra skaičius sudarytas iš lygių vieneto dalių‘‘. Arba, toks trupmenos vaidmuo suprantamas iš konteksto (pavyzdžiui, 5-6 klasės matematikos ugdymo programoje, žr. čia). Šiuo atveju vaikui gali likti neaišku, kodėl vieni skaičiai yra lygūs (pavyzdžiui, ir ), o kiti skaičiai yra skirtingi (pavyzdžiui, ir ).
Kitais atvejais teigiama, kad: ,,Trupmena yra matematinė skaičiaus išraiška, kuri gali reprezentuoti vieną arba kelias lygias vieneto (arba visumos) dalis“ (žr. čia), arba ,,Trupmena yra simbolis racionaliajam skaičiui reikšti“ (žr.
Dabartinis trupmenų mokymas ignoruoja esminius matematikos bruožus: tikslų sąvokų apibrėžimą, susijusių sąvokų (šiuo atveju sveikojo skaičiaus ir trupmenos) loginį suderinamumą ir, kas svarbiausia, savybių ir procedūrų paaiškinimą (pagrindimą) remiantis sąvokų apibrėžtimis. Be supratimo, trupmenų savybes ir procedūras tenka mokytis mintinai.
Matematikoje racionalieji skaičiai ir aritmetinės operacijos su jais apibrėžiami naudojant ekvivalentumo klases, o tai yra per daug abstraktu moksleiviams. Todėl reikia rasti tokią skaičiaus sampratos formą, kuri išsaugotų loginį tikslumą.
Tolesnis aiškinimas skiriamas matematikos mokytojams. Naudodami pedagogines priemones, mokytojai galėtų kvalifikuotai perteikti idėjas moksleiviams. Mano aiškinimas naudoja natūraliųjų skaičių aritmetikos supratimą ir kai kurias geometrijos sąvokas (geometrinė tiesė, taškas ant tiesės, atkarpa, kongruencija). Tai, kad čia aš jų nekomentuoju, nereiškia, kad vadovėliuose šių sąvokų aiškinimas neturi problemų.
Skaičių tiesė ir susijusios sąvokos
Skaičių tiesė yra geometrinė tiesė, kurioje vienodu atstumu išsidėstę taškai žymi nulį ir natūraliuosius skaičius.
Apibrėžtis. Tarkime, kad [a,b] ir [b,c] yra dvi tos pačios tiesės atkarpos, turinčios vieną bendrą tašką b. Šių atkarpų jungtis yra atkarpa [a,c] (concatenated line segments, H.-H.
Apibrėžtis. Sakysime, kad geometrinės tiesės taškų poros (T,S) ir (U,V) yra vienodai nutolusios, jei jų sudarytos atkarpos [T,S] ir [U,V] yra kongruenčios, t.y. pastūmus [T,S] taip, kad T sutaptų su U, S turi sutapti su V (equi-spaced points; H.-H.
Geometrinės tiesės taškų pora (T,S) vienareikšmiškai apibrėžia atkarpą [T,S]. Apie atkarpas sakysiu, kad dvi ar daugiau atkarpų turi vienodą ilgį, jei jos yra kongruentiškos.
Tarkime, kad geometrinėje tiesėje yra pažymėtas nulis ir taškas T esantis į dešinę nuo nulio. Stumkime atkarpą [0,T] į dešinę nuo nulio tol, kol kairysis atkarpos galas nulis sutaps su T. Pastumtos atkarpos dešinį galą žymėkime 2T, t.y. atkarpos [0,T] ir [T,2T] turi vienodą ilgį. Nuosekliai kartodami atkarpos [0,T] stumimą, gauname taškus 0,T,2T,3T,….., kurie sudaro tai, ką vadinsime taško T kartotinių taškų seka (multiples of T; H.-H. Wu 99 psl). Šioje sekoje T vadinamas taško T pirmuoju kartotiniu tašku, 2T vadinamas taško T antruoju karotiniu tašku ir t.t.
Apibrėžtis. Duotoje geometrinėje tiesėje pasirenkame du skirtingus taškus: pirmasis kairėje žymi 0 (nulį), o kitas žymi 1 (vienetą). Vieneto kartotinius taškus vadinsime natūraliaisiais skaičiais. Atkarpa tarp taškų 0 ir 1 vadinama vienetine atkarpa ir žymima [0,1]. Sakysime, kad vienetinei atkarpai kongruentiškos atkarpos ilgis yra lygus vienetui.
Apibrėžtis. Realusis skaičius yra taškas skaičių tiesėje (H.-H. Wu 128 psl.).
Skaičių tiesėje turime natūraliuosius skaičius. Tolesnis uždavinys identifikuoti tuos taškus, kurie yra trupmenomis (racionalieji skaičiai). Pirmiausia skaičių tiesėje nurodysime tas trupmenas, kurių vardikliais yra skaičius trys, t.y.
Vienetinę atkarpą [0,1] daliname į tris vienodo ilgio atkarpas , ir , kurių jungtis yra vienetinė atkarpa. Kiekvieną kitą atkarpą [1,2], [2,3],.. tokiu pačiu būdu padaliname į tris vienodo ilgio atkarpas. Taip gautų visų atkarpų ilgiai yra vienodi, nes jie kongruentiški.
Panašiu būdu, imant vienetinių atkarpų trečdalius ir apjungus bet kuriuos keturis iš jų, galima gauti trupmenos išraišką. Bendru atveju, su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi m, trupmena yra pirmųjų m vienetinės atkarpos trečdalių jungties dešinysis galas.
Samprotavimai apie trupmenas, kurių vardikliais yra trejetas, apibendrinami trupmenoms, kurių vardikliais yra bet kuris natūralusis skaičius n=1,2,3,… . Panašiu būdu, dalindami vienetines atkarpas į n dalių, gauname trupmenų , , … standartines išraiškas atkarpomis. Šių atkarpų dešinieji galai skaičių tiesėje sudaro tai, kas vadinama n-tųjų dalių aibe.
Apibrėžtis. Duotam natūraliajam skaičiui n, skaičių tiesės vienetinę atkarpą [0,1] padaliname į n vienodo ilgio atkarpų. Nuo nulio pirmosios gautos atkarpos dešinysis galas yra taškas, žymimas simboliu . Taško kartotiniai taškai sudaro n-tųjų dalių aibę, kurios elementus žymi simboliai , ,… . Visi šių aibių elementai kai n=1,2,3,… sudaro trupmenų aibę (fractions, H.-H.
Pagal apibrėžimą, trupmena yra taškas skaičių tiesėje.
Apibrėžtis. Lygybė = reiškia, kad trupmenų simboliais ir žymimi taškai yra vienas ir tas pats taškas skaičių tiesėje.
Trupmenos lengvai suskaičiuojamos!
Taigi, kai n=1, taško kartotiniai taškai , ,…, ,…yra lygūs atitinkamiems natūraliesiems skaičiams 1,2,…m,…. = 1, = 2, …..
Teiginys. Tarkime, kad ir yra du trupmenų simboliai ir egzistuoja toks teigiamas natūralusis skaičius c, kad k = cm ir l = cn.
Įrodymas. Pagal apibrėžimą, yra taško m-tasis kartotinis taškas, t.y. atkarpa yra m vienodo ilgio atkarpų , ,…., jungtis. Kiekvieną iš šių atkarpų daliname į c vienodo ilgio atkarpų. Šių dalinimų pasekmė yra vienetinės atkarpos [0,1] padalinimas į nc vienodo ilgio atkarpų. Kadangi yra taško c-tasis kartotinis taškas, tai yra taško (mc)-tasis kartotinis taškas, t.y.
Išvada. Bet kurios dvi trupmenos išreiškiamos trupmenų simboliais, kurių vardikliai yra lygūs.
Pastaba. Kaip jau buvo minėta, mūsų mokyklose nėra įprasta skirti trupmeną-skaičių nuo trupmenos-simbolio. Tokio skyrimo pripažinimas matyt reiškia atitinkamos matematinės brandos lygio turėjimą. Matematikos mokytojai turėtų suprasti šiuos skirtumus ir, reikalui esant, sugebėti paaiškinti.
Kitas susijęs klausimas yra žodžio ,,skaitmuo‘‘ reikšmė. Atrodo, kad mūsų mokyklose skaitmuo yra vienaženklis skaičius. Tačiau skaitmuo turi kitą reikšmę: skaičiaus išraiška ženklais. Palyginimui prisiminkime anglų kalbos žodžius number, numeral, digit.
Trupmenos-skaičiaus ir trupmenos-simbolius skyrimas yra svarbus kalbant apie aritmetines operacijas. Matematikoje aritmetikos operacijos su skaičiais yra funkcijos. Tai reiškia, kad skaičių porai turi būti priskiriamas vienintelis aibės elementas.
Trupmenos apibrėžtis yra paprasčiausioji dalis. Įdomiausia yra parodyti kaip iš šios apibrėžties išvedamos visos trupmenos savybės.
Aritmetinės operacijos su trupmenomis apibrėžiamos ne ad hoc, bet apibendrinant natūraliųjų skaičių atitinkamas aritmetines operacijas.
Apibrėžtis. Turint sumos apibrėžimą, jos išraiška įrodoma trupmenos apibrėžimą.
Teiginys.
Įrodymas. Trupmenų simboliai ir yra ekvivalentūs trupmenų simboliams, atitinkamai, ir . Trupmena yra taško (lm)-tasis kartotinis taškas, o trupmena yra taško (nk)-tasis kartotinis taškas. Pagal sumos apibrėžimą, pakanka rasti atkarpų ir jungties dešinįjį galą. Abi atkarpos yra padalintos vienodo ilgio atkarpomis, kurios kongruentiškos atkarpai . Suskaičiavę kartotinius taškus gauname, kad ieškomas dešinysis galas yra taško (ml+nk)-kartotinis taškas.
Istoriškai natūraliųjų skaičių daugyba kaip aritmetinė operacija atsirado tik Descarteso (1596-1650) dėka. Iki tol dviejų natūraliųjų skaičių sandauga buvo atitinkamo stačiakampio plotas.
Apibrėžtis. Svarbiausia skaičiuojant plotą yra tai, kad tapatinamos dvi skaičių tiesės: vienos jų vienetas yra vienetinės atkarpos ilgis, o kitos tiesės vienetas yra plotas vienetinio kvadrato, kurio kraštinė yra pirmosios tiesės vienetinė atkarpa.
Teiginys.
Įrodymas. Stačiakampis, kurio kraštinės yra ir , padengiamas mk kongruenčių stačiakampių kurių kraštinės yra ir . Pastarojo stačiakampio plotas yra , nes nl tokių kongruenčių stačiakampių padengia vienetinį kvadratą.
Šioje vietoje baigsiu trupmenų aptarimą tikėdamasis, kad to pakanka susidaryti pirmam įspūdžiui. Apie kitus trupmenų niuansus galima sužinoti studijuojant minėtąją H.-H.
Paprastųjų trupmenų skaičiavimas
- Atlikite veiksmus su paprastojom trupmenom t.y. sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, prastinimą.
- Paverskite paprastąsias trupmenas į dešimtaines, ir dešimtaines į paprastąsias.
- Išreiškite trupmeną procentais.
Pasirinkite iš greitojo meniu žemiau, kokius veiksmus norite atlikti: (ar tikrai įjungta angl. klaviatūra skč. įvesti)
- Trupmenos prastinimas
Kairėje pusėje įveskite paprastąją trupmeną, kurią norite supaprastinti, nurodydami sveikąsias dalis(neprivaloma), skaitiklį bei vardiklį.
- Trupmena į procentus
Praktikoje dažnai sutinkame procentinę dalį nurodytą paprastąja trupmena, kairėje įveskite trupmeną, kurią norite paversti į procentus
- Trupmena į/iš dešimtainę
Veskite kairėje paprastąją trupmeną norėdami paversti ją į dešimtainę. Norėdami dešimtainę paversti į paprastąją - veskite dešinėje.
- Trupmenų sudėtis
Skaičiuoklė skirta tik mokymosi tikslams pasitikrinti rezultatui. Sprendimo eiga skaičiuoklėje nėra pateikta. Įveskite dvi paprastąsias trupmenas žemiau, norėdami sužinoti sumą.
- Trupmenų atimtis
Skaičiuoklė skirta tik mokymosi tikslams pasitikrinti rezultatui. Sprendimo eiga skaičiuoklėje nėra pateikta. Įveskite dvi paprastąsias trupmenas žemiau, norėdami sužinoti atimties rezultatą.
- Trupmenų daugyba
Skaičiuoklė skirta tik mokymosi tikslams pasitikrinti rezultatui. Sprendimo eiga skaičiuoklėje nėra pateikta. Įveskite dvi paprastąsias trupmenas žemiau, norėdami sužinoti daugybos rezultatą.
- Trupmenų dalyba
Skaičiuoklė skirta tik mokymosi tikslams pasitikrinti rezultatui. Sprendimo eiga skaičiuoklėje nėra pateikta. Įveskite dvi paprastąsias trupmenas žemiau, norėdami sužinoti dalybos rezultatą.
Karamelė
Atspėtumėt iš nuotraukos, kad čia karamelė? Paprastai saldainiai iš cukraus manęs nevilioja ir jų galiu nevalgyt metų metus. Bet šitas skanėstas suviliojo. Pirmiausia tai savo struktūra, o dabar jau ir savo skoniu. Visai neprimena čiulpiamų kietų karamelių, tai trapus saldumynas, kurio gabalėlius galite padengti šokoladu (nors man gražiai supjaustyti nepavyko, labai jau trupėjo).
Ingredientai:
- 6 v.š. cukraus
- 2 v.š. sirupo
- 2 a.š. vandens
- vanilės
Gaminimo procesas:
- Į puodą supilti cukrų, sirupą, vandenį ir vanilę.
- Išmaišius, ant vidutinės ugnies užvirti ir virti kol pasieks apie 148 0C temperatūrą. Tai užtruks apie dešimt minučių.
- Nukelti nuo ugnies, greitai supilti sodą ir trumpai paplakti.
- Masę greitai supilti į skardą išklotą kepimo popieriumi.
tags: #du #trecdaliai #kokia #butu #trupmena