Sprendžiant uždavinius, kuriuose prašoma išvardyti arba suskaičiuoti galimus variantus, svarbiausia atkreipti dėmesį į šiuos du dalykus:
- Nepraleisti nė vieno varianto.
- Nesuskaičiuoti kurio nors iš variantų keletą kartų.
Skaičiuojant galimus variantus, patartina vadovautis šiais principais, kurie padės išvengti klaidų:
- Rašyti (arba išdėstyti jau užrašytus) variantus didėjimo arba mažėjimo tvarka.
- Grupuoti variantus po kelis pagal tam tikrą panašumą.
- Remtis ankstesniais (panašiais) uždaviniais, kurių atsakymas jau žinomas.
Nebūtina vadovautis visais trimis iškart - pakanka bet kurio vieno.
Panagrinėkime pavyzdį:
Jei jau išrašyti visi triženkliai skaičiai, sudaryti iš skirtingų skaitmenų 1, 2 arba 3, užduotį suskaičiuoti visus keturženklius skaičius, sudarytus iš skirtingų skaitmenų 1, 2, 3 arba 4, galima atlikti trejopai:
- Išrašant didėjimo tvarka visus skaičius: 1234, 1243, 1324, 1342 ir t. t.
- Grupuojant pagal paskutinį skaitmenį ir išrašant visus galimus variantus.
- Remiantis išspręstu uždaviniu teigti: „Kai užrašytas pirmas skaitmuo, lieka dar trys skaitmenys, kuriuos galėsime išdėlioti 6 būdais (tiek pat, kiek ir su skaitmenimis 1, 2, 3). Vadinasi, 6 būdai su vienetu priekyje, 6 būdai su dvejetu priekyje, 6 būdai su trejetu priekyje ir 6 būdai su ketvertu priekyje. Iš viso 24 būdai / skaičiai.“
Dabar panagrinėkime, kaip apskaičiuoti, kiek iš viso yra triženklių natūraliųjų skaičių, kurių visi trys skaitmenys skirtingi. Žinome, kad triženklis skaičius negali prasidėti nuliu. Todėl pirmajam skaitmeniui galime rinktis iš 9 skaitmenų (1-9).
Kai pirmasis skaitmuo jau parinktas, antrajam skaitmeniui galime rinktis iš 9 skaitmenų (0-9, išskyrus jau parinktą pirmąjį skaitmenį).
Galiausiai, trečiajam skaitmeniui galime rinktis iš 8 skaitmenų (0-9, išskyrus jau parinktus pirmąjį ir antrąjį skaitmenis).
Todėl, norėdami rasti visų galimų triženklių skaičių, kurių visi skaitmenys skirtingi, skaičių, turime sudauginti galimybių skaičių kiekvienam skaitmeniui:
9 * 9 * 8 = 648
Taigi, iš viso yra 648 triženkliai natūralieji skaičiai, kurių visi trys skaitmenys skirtingi.
Štai keletas kitų uždavinių, susijusių su variantų perrinkimu:
- Kiek skirtingų dviženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 2 ir 3, jei abu skaičiaus skaitmenys privalo būti skirtingi?
- Seifo kodas yra triženklis skaičius, sudarytas iš skirtingų skaitmenų. Kiek kodų galima sudaryti naudojant tik skaitmenis 1, 3 ir 5? Užrašykite visus galimus kodus.
- Kiek skirtingų triženklių skaičių galima užrašyti, naudojant tik skaitmenis 0, 1 ir 2? Be to, skaitmenys skaičiuje gali kartotis. Surašykite tuos skaičius didėjimo tvarka.
Šie uždaviniai padeda lavinti loginį mąstymą ir kombinatorinius įgūdžius.
Štai dar vienas pavyzdys:
Pirmokas Jonukas moka parašyti tik A ir M raides. Jis užrašo dvi raides paeiliui.
- Kiek skirtingų raidžių derinių jis gali sudaryti?
- Kiek skirtingų raidžių derinių jis sudarys, jei abi užrašytos raidės turi būti skirtingos?
Atsakydami į abu klausimus, užrašykite visus galimus raidžių derinius.
Raidžių derinius atskirkite kableliais, pvz. AM, MA ir t.t.
Atsakymas:
- AA, AM, MA, MM
- AM, MA
Šie uždaviniai padeda suprasti kombinatorikos pagrindus ir lavina gebėjimą analizuoti įvairias situacijas.
Faktorialo grafikas
Kiekvienas uždavinys, kuriame prašoma suskaičiuoti galimus variantus, reikalauja atidaus dėmesio detalėms ir sistemingo požiūrio. Tik tokiu būdu galima užtikrinti, kad nė vienas variantas nebus praleistas, o kiekvienas variantas bus suskaičiuotas tik vieną kartą.